A茶色が駄目なら基本的に黒髪の職場だと思います。赤もまずいのでは。

補足拝見しました。
暗ければ大丈夫なら、美容院で黒に近い赤、と言って大丈夫だと思います。ただ、色の度合いにはどうしても感覚の差がありますので、ネットやヘアカタログなどでサンプルになるような写真を探して、コピーやプリントアウトしたものを持ち込んで、｢これぐらいの色の度合いで｣と注文する方がよりいいです。

大抵美容院自体にもヘアカタログなどはあると思いますが、やはり事前に探しておいたらスムーズになるでしょう。