A美容師です。
根元の黒が、黒染めの場合、ブリーチか脱せん剤とゆう薬で、黒染めの色を抜かなければいけないと思います。黒染めをしてない髪で、髪質によっては、写真のような色になりますが、日本人の髪質では、ほとんどの人がブリーチをしてから、色をかぶせる方法でないと、明るい綺麗なアッシュは入りにくいです。
もともと持っている色素によっても染まり方は違います。なので、美容院に行かれて相談されることをオススメします。髪質によっては、黒染めのところのみのブリーチですむ場合もあると思います。
料金ですが、一度ブリーチをするなら、ブリーチオンカラーになるのでプラス料金になると思いますが、一回で染められるのなら、いらないのでは？？お店によって違うので、料金についてはハッキリとは何とも言えませんが。。