Aクセを生かしたカットがあると思います。
もしも金銭的に余裕があって、ストレートにしたいと言うなら
縮毛矯正がいいですよ。

私はクセ毛で今は矯正かけていますが、矯正がをかける前も
ショートのスタイルが多かったですよ。

というか、前に行ってた美容院の美容師さんがショートが私にはいい！と
おっしゃってた方だったので。

髪量は私も多いですが、梳いてもらえば調節出来ると思いますよ。
今お世話になってる担当美容師さん曰く、内側を梳くといいそうです。
外側を梳いたりするとクセ毛だと良くないとか。
言われてみれば確かに、前の美容師さんは外側を梳いてくれてたのですが
伸びてくると次第にピョンピョンはねてたような…。

そして、背が高くても髪を短く…というのは可能ですよね。
背が高いから、というのも短く出来ない要因に挙げられてるようですが、
私は質問者様よりも背があるほうですが(173ｃｍ)なぜかどこ行っても(美容院)
誰になっても(美容師さん)、ショートになります。

ちょっと前に2度目の矯正かけた時に担当さんが「ストレートかけたら
(髪が)短いより長いほうが持ちがいいんですよね～」と言い切らなかったのですが、
その次に行った時は切ってましたよ。
で、またその次に行った時は今度は形を変えてました。
「今日は形を変えてみようと思って」と言って切ってました。

まぁ、出来れば伸ばしたほうが持ちがいいと言っていた人なので、そんなに
長さは変えてないですが…でもショートとも取れる感じですよ（笑）。
やっぱりショートなイメージなんでしょうか？私は。
でも、ショートなイメージってどういうのだろう…謎です…。

そして、ボサボサというのはないですよ。
私も矯正かける前もショートでしたが、はねなかったです。
というか、クセ毛なので当然はねはしますよ。
ただ、それは"クセを生かしたカット"であれば、おかしくはないと思います。
というよりも、以前の美容師さんが"クセを生かしたカット"とよく言ってました。

なので、質問者様が美容師さんに"クセを生かしたカット"をお願いしてみては？