Aダメではないですし、向こうはそれでお金をいただくのですから要望どおりにすべきだと思いますが、相当な無理難題を言っていることだけは認識した方がいいでしょうね。

>結局細かく聞かれます。前髪はつくる？つくらない？など。
>そんなのも含めお任せしたいのですが……。

それすらもお任せなら、それは質問者さんが先に言わないとダメだと思いますよ。

それに、

>一回｢お任せ｣をお願いしたら、快く引き受けてくれましたが、前と同じ髪型にされました。

それで不満がおありとは・・・
「お任せ」なら、前と同じにされても美容師さんの勝手だと思いますよ。

美容師さんはお客さんの希望の他、その人の雰囲気や着ているもの、髪質とのバランスなども考慮して決めるものですから、
「とにかくお任せします」
は本当はものすごく大変だと思います。
まして、初めて行く美容室では。

それでも途中で細かく聞かれることなく全面的にお任せしたいというのであれば、ご面倒でも質問者さんが最初にもっと
「お任せには一切の制約がない」
「途中に一切何も聞かないで欲しいからお任せと言っている」
ということを言っておくべきでしょう。

「今の髪型とは絶対に変えること」（今まで行っている美容室なら過去のどの髪型とも同じにしないこと）
「前髪を作っても作らなくてもOK」
などや、それこそ、金髪にされようが、坊主にされようが、パンチパーマにされようが「一切の希望なし」「どうされようが構わない」くらいのことを言っておかないと、普通は多少聞いてくるはずです。