A白髪が全く染まらないということはありませんが希望の色にはなりにくいです。
簡単に言ってしまうと白髪と黒髪を同時に同じ色や明るさにできるものを白髪染めと呼びます。
白髪染めはある程度の明るさ(7トーンくらいまで)までにしか染まらず、それ以上に黒髪の部分を明るくしたい場合白髪の染まり具合は無視しておしゃれ染めするしかありません。
また、ブリーチについてですが日本人の方の白髪は白髪と言っても少し黄色がかっていますのでブリーチをすれば白髪はより白にちかづきます。
ただ、黒髪を金髪に近いほど明るくすればするほど白髪は明るい髪に隠れて目立たなくなります。

・ある程度明るさを制限して白髪をきっちり染める
・とにかく黒髪を明るくして白髪を目立たないようにごまかす
ご自分で髪を染める場合の選択肢はこの2つだと思います。