Aできれば、まず美容室でシリコン除去した方が良いです。
ヘッドスパでもシリコン除去できる物もありますし、美容室でご相談下さい。

カットだけで行っても、良心的なお店なら、シリコン除去できるクレンジングシャンプーで（サービス）洗ってくれますよ。

そこまで酷かったら、ノンシリコンシャンプーに変えてもシリコンが完全に落ちるまでに２週間〜１ヶ月掛かると思いますので。

①美容室専売品でも、手触りが良いシャンプーは殆どシリコンが入っています。
シリコンにも色々あって、上質なシャンプーは水溶性のシリコンで、髪を編み目状に多いますから、安物のシリコンの様にコーティングが積もっていかないからベタベタしたりしないし、皮膚呼吸を妨げたりしないんです。
だから、シリコン＝悪だとは限らないんです。

②頭皮のトラブルでお悩みの場合、髪よりも頭皮のコンディションを優先した方が良いですから、頭皮用シャンプーの方が良いです。
頭皮用シャンプーはシリコンは入っていないんですが、手触りは少し落ちます。

私のお勧めは「Dr.ヘアー＆ボディーシャンプー」というノンパラベンのシャンプーで、赤ちゃんの身体を洗っても安心な、合成保存料も入っていないシャンプーです。

それと、ミルボンの「ディーゼス リーファ」という商品。
これは私も愛用してますが、私も頭皮が敏感で、合わないシャンプーを使うと直ぐにフケが出るんですが、これで改善しています。
このシャンプーだけで治まらない場合は、同じリーファの頭皮用トリートメントとローションをセットで使えば尚良いですし、ヘッドスパと組み合わせれば完璧です。

③石鹸成分というのは、必ず石鹸カスが出ます。
お風呂洗剤のCMで言ってる「石鹸カスバリアー」っていうやつです。
あれが髪に付く事を想像してみて下さい。
石鹸シャンプーを使ってる方は、美容師が髪を触れば直ぐに分かるんです。
石鹸カスバリアー独特の手触りがして、髪が重くなってるんです。

よく、石鹸シャンプーは「最初はゴワゴワするけど、使ってるうちに手触りが良くなる」と言われますが、あれは髪が良くなってきてるんじゃなくて、石鹸カスバリアーで手触りが変わる（石鹸の様にツルっとしてきて、重くなるからボリュームが抑えられる）んです。

追記：シャンプーの効果に「フケ、かゆみ止め」と書かれている物はジンクピリチオンとかのフケ止め成分が入っているんですが、そういう物は洗浄力も高く、脂性のフケにしか効きません。
質問者様の場合は脂性のフケじゃなく、頭皮の荒れが原因の筈ですから、逆効果になる筈です。
フケ、かゆみ止めじゃなくて、頭皮に潤いを与えてくれるタイプで、洗浄力が弱い物の方が良いです。

ちなみに、洗浄力が１番高いのは、アルカリ性である石鹸シャンプーです。