A髪の色とかって正確な名前がないので(例えば市販のカラー剤でもメーカーによって名前が違う)希望の髪色の写真を何枚か美容師さんに見せた方が確実だと思いますよ！
あとはアッシュでも何色系か、明るさはどのくらいか等をしっかり伝えましょう。
値段を気にされるのであればHotpepperで絞り込み検索もできますし、アッシュだったら「外国人風が得意」などと書いてあるお店がいいのではないでしょうか。

口コミもしっかり読んで、希望をしっかり聞いてくれるお店がいいですね。

綺麗に染まるといいですね！